Основы универсальной алгебры

Учеб. пособие. - 3-е изд., испр. и доп. – Новосибирск: Изд-во Нгту, 2005. – 137 с. - Удк 512(075.8).
Аннотация.
Учебное пособие посвящено универсальной алгебре, молодой развивающейся науке, нашедшей свои приложения как внутри математики, так и информатике и ряде других наук. .
Адресовано студентам и аспирантам математикам, информатикам, а так же научным работникам в этих областях.Введение.
Универсальная алгебра сравнительно молодая наука, изучающая поведение функций на произвольных множествах. Возникшая на стыке математической логики и классической алгебры, универсальная алгебра, в свою очередь, оказала влияние, как на эти разделы математики, так и на более далекие области этой науки. В частности, непосредственное применение универсальная алгебра нашла в программировании, в теории баз данных и ряде других областей, получивших развитие в нынешнюю эпоху широкого применения вычислительных машин. Тем не менее, круг людей, знакомых с универсальной алгеброй и владеющих её методами, довольно узок. Сам курс универсальной алгебры читается в виде спецкурсов в довольно ограниченном числе университетов. В связи с этим, смелым и новаторским шагом было решение руководства факультета прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета и, в частности, его бывшего декана проф. В.И.Хабарова о введении этого курса в обязательную программу обучения прикладных математиков НГТУ. Чтение этого курса было предложено мне и я благодарен за это руководству факультета.
Одна из проблем, с которой я столкнулся при подготовке и чтении этого курса - отсутствие подходящей учебной литературы на русском языке. Классический учебник А.И.Мальцева "Алгебраические системы" является в настоящее время библиографической редкостью, да и материал этой книги, написанный в 60-е годы, далеко не полностью отражает современные достижения универсальной алгебры. То же можно сказать и о имеющейся на русском языке книге П.Кона "Универсальная алгебра". Учебники А.Г.Куроша "Лекции по общей алгебре" и Л.А.Скорнякова "Общая алгебра" вопросов универсальной алгебры касаются лишь косвенно. Книга Д.М.Смирнова "Многообразия алгебр" носит скорее монографический, а не учебный характер, да и изданная малым тиражом, малодоступна студентам. На английском языке можно указать на книгу Г.Гретцера "Универсальная алгебра" и С.Барриса, Х.П.Санкапанавара "Курс универсальной алгебры", но они велики по объёму материала и недоступны для российского студенчества.
Эти обстоятельства и подтолкнули меня на написание учебника под тот курс универсальной алгебры, который в течение нескольких лет читается мной студентам Нгту, специализирующимся по прикладной математике.Содержание.
Введение.
Основные понятия универсальной алгебры.
Универсальные алгебры, модели, алгебраические системы. Эквивалентность на множестве.
Подалгебры и теоремы представления для групп, полугрупп, булевых алгебр, дистрибутивных решеток.
Алгебраические решетки.
Гомоморфизмы, конгруэнции и фактор-алгебры.
Прямые и подпрямые произведения, ультрапроизведения. Операторы на классах алгебр.
Многообразия и свободные алгебры.
Свободные алгебры многообразий. Абсолютно свободные алгебры.
Тождества и эквациональные классы.
Исчисление тождеств.
Конгруэнц-перестановочные, конгруэнц-модулярные, конгруэнц-дистрибутивные многообразия. Дискриминаторные многообразия.
Рациональная эквивалентность многообразий.
Условные термы и многообразия.
Условные термы и условно термальные функции.
Условные тождества и условные многообразия.
Условно рациональная эквивалентность условных многообразий и алгебр.
Некоторые приложния универсальной алгебры.
Шкалы потенциалов вычислимости конечных алгебр.
Конечные автоматы, языки, грамматики.
Алгебры Халмоша и базы данных.
Предметный указатель.
Дополнительная литература.